取T為任意一個確定的有理數(shù)，則當(dāng)x是有理數(shù)時f(x)=1，且x+T是有理數(shù)，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；當(dāng)x是無理數(shù)時，f(x)=0，且x+T是無理數(shù)，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。綜上，狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)。

狄利克雷函數(shù)是一個定義在實數(shù)范圍上、值域不延續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)的圖像以Y軸為對稱軸，是一個偶函數(shù)，它處處不延續(xù)，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不延續(xù)的可測函數(shù)。

對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。事實上，任何一個常數(shù)kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函數(shù)f（x）的周期T是與x無關(guān)的非零常數(shù)，且周期函數(shù)不一定有最小正周期。

1、定義域為整個實數(shù)域R。

2、值域為{0,1}。

3、函數(shù)為偶函數(shù)。

4、無法畫出函數(shù)圖像，但是它的函數(shù)圖像客觀存在。

5、以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期（由實數(shù)的延續(xù)統(tǒng)理論可知其無最小正周期）。

來源：高三網(wǎng)