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二次函數(shù)的定義

一般像y=ax2 bx c(a，b，c為常數(shù)，a0)這樣的函數(shù)稱為x的二次函數(shù)，例如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2 x-1都是二次函數(shù)。

注：(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量的二次方程，二次項(xiàng)的系數(shù)A必須是非零實(shí)數(shù)，即a0，而b和c是任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的表達(dá)式是代數(shù)表達(dá)式；

(2)二次函數(shù)y=ax2 bx c(a、b、c為常數(shù)，a0)，自變量x的取值范圍均為實(shí)數(shù)；

(3)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)；

(4)一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)，只有經(jīng)過化簡(jiǎn)整理才能得出結(jié)論，例如y=x2-x(x-1)化簡(jiǎn)后變成y=x，所以不是二次函數(shù)。

拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸是直線。

x=-b/2a .

與拋物線對(duì)稱軸的唯一交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)p。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是Y軸(即直線x=0)。

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，其坐標(biāo)為

p [- b/2a ,(4ac-b^2；)/4a ].

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，p在Y軸上；當(dāng)=b 2-4ac=0時(shí)，p在x軸上。

3.二次系數(shù)A決定了拋物線的張開方向和大小。

當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上張開；當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下打開。

|a|越大，拋物線的開口越小。

4.一階系數(shù)b和二階系數(shù)a共同決定了對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)A和B的個(gè)數(shù)相同(即ab0)時(shí)，對(duì)稱軸在Y軸的左邊；

當(dāng)A和B失號(hào)(即ab0)時(shí)，對(duì)稱軸在Y軸的右邊。

5.常數(shù)項(xiàng)C決定了拋物線與Y軸的交點(diǎn)。

拋物線與Y軸在(0，c)的交點(diǎn)

6.拋物線與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)=b 2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)=b 2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸相交。

當(dāng)=b 2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

二次函數(shù)的三種表達(dá)式

通式：y=ax 2bx c (a、b、c為常數(shù)，a0)

頂點(diǎn)[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]:y=a(x-h)2k

交點(diǎn)[僅拋物線與X軸的交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)]:Y=A(X-x1)(X-x2)

以上三種形式可以轉(zhuǎn)換如下：

(1)通式與頂點(diǎn)的關(guān)系

對(duì)于二次函數(shù)y=ax 2bx c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，(4ac-b 2)/4a)，即

h=-b/2a=(x1 x2)/2

k=(4ac-b^2)/4a

通式與交點(diǎn)的關(guān)系

X1，x2=[-b(b ^ 2-4ac)]/2a(即一元二次方程的求根公式)

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